تعريف المعرفة الرياضية، وتحليل محتوى كتب الرياضيات:
يمكن النظر للرياضيات نظرة شمولية باعتبارها: علم، وفن، ولغة، وأداة أو
وسيلة. فالرياضيات علم يتميز بمعرفة منظمة ذات بنية محكمة لها أصولها وتسلسلها. فهي
تبدأ بالمسلمات والبديهيات والمفاهيم غير المعرفة وتنتهي بالنظريات والقوانين والعلاقات.
يقصد بتحليل المحتوى تحديد مكونات المعرفة الرياضية التي يتضمّنها الدرس
أو الوحدة أو الكتاب المدرسي. أي أن تحليل المحتوى في الرياضيات يتعلق بالإجابة عن
السؤال: ماذا نعلّم في الرياضيات؟. حيث إن معرفة ماذا يُعّلم (يُدرّس) في الرياضيات
يعد إحدى المهام الرئيسة لمعلم الرياضيات، كما أن عملية تحليل المحتوى تمثّل إحدى المهارات
الأساسية لمعلم الرياضيات. والتي من شأنها ضمان التخطيط الجيد للدرس، وضمان تحقيق أهداف
التعلم، وسهولة قياسها.
عناصر المحتوى الرياضي او مكونات المعرفة الرياضية. |
مكونات محتوى المعارف في الرياضيات وكيفية وتدريسها:
ويقصد بها عناصر المحتوى الرياضي او مكونات المعرفة الرياضية وكيفية تدريسها من قبل المعلم. وهي:
أولاً – المفاهيم الرياضية :
يمكن القول إن المفهوم في الرياضيات
عبارة عن فكرة مجردة أو صورة ذهنية (عقلية). يكوّنها الفرد حول عدة أشياء أو مواقف رياضية
تشترك جميعها في خاصية أو أكثر. بحيث يمكن الاعتماد على هذه الفكرة في تصنيف الأشياء وتحديد ما إذا كانت أمثلة أو ليست
أمثلة على هذه الفكرة المجردة.
فمثلاً مفهوم الاثنين أو خاصية
الاثنينية ماهي إلا تجريد عقلي للخاصية المشتركة الموجودة في كثير من المواقف. ومنها:
الوالدان، الزوجان، العينان، الأذنان، الذراعان،... حيث إن كلاً من هذه أمثلة تسمى
اثنان ويرمز لها بالرمز 2. ومن أمثلة المفاهيم في الرياضيات: المثلث، المربع، العدد
الزوجي، العدد الأولي، العامل المشترك، المضاعف، الإبدال، التجميع، العنصر المحايد.
استراتيجيات
وطرق تدريس المفاهيم
الرياضية:
كما ذكرنا المفاهيم الرياضية هي اللبنات
أو الركائز الأساسية التي تُبنى عليها المعرفة الرياضية. إن اكتساب المتعلم للمفاهيم
الرياضية يشكّل جزءاً من عملية تعليم الرياضيات داخل الصف الدراسي. وهناك عدد من الإجراءات
أو التصرفات التي يقوم بها المعلم لتعليم التلاميذ المفاهيم الرياضية. هذه الإجراءات
أو التصرفات تسمى تحركات تدريس المفاهيم. وفيما يلي عرض لأبرز تحركات او طرق
تدريس المفاهيم
الرياضية.:
1- تحرك التصنيف: وفيه تحديد مجموعة أعم تحتوي مجموع إسناد المفهوم ينتمي
إليها المفهوم. فمثلاً عند تقديم مفهوم المثلث، نصنفه ضمن مجموعة أشمل وهي المضلعات
المغلقة. والعدد الزوجي يمكن ان نضعه ضمن مجموعة أشمل هي الأعداد الكلية.
2- تحرك التحديد: يتم في هذا التحرك، تحديد جميع الخصائص أو السمات المميزة
للمفهوم. فمثلاً عند مفهوم العدد الأولي بأنه: العدد الذي له قاسمان(عاملان) فقط، هما
العدد نفسه والواحد.
3- تحرك التحليل: في هذا التحرك يتم تحديد مجموعة جزئية واحدة أو أكثر
من مجموعة اسناد للمفهوم. فمثلاً تقديم مفهوم الشكل الرباعي، من خلال ذكر مجموعة المستطيلات
أو مجموعة العينات باعتبارها مجموعات جزئية من مجموعة إسناد الشكل الرباعي.
4- تحرك المقارنة: يتم في هذا التحرك ، تحديد أوجه الشبه والاختلاف بين
المفهوم الحالي ومفهوم آخر سبق تعلمه. فمثلاً عند تقديم مفهوم المعين يتم مقارنته بمفهوم
المربع.
5- تحرك الرسم: يقوم المعلم في هذا التحرك برسم شكل توضيحي للمفهوم، فمثلاً
يرسم المربع أو المستطيل أو المستقيمين المتوازيين أو الدائرة أو ...الخ. ويعد تحرك الرسم
من التحركات المهمة في تدريس المفاهيم الهندسية. ويمكن أن يدعم تحرك الرسم التحركات
الأخرى التي يستخدمها المعلم.
6- تحرك التعريف: في هذا الإجراء
يقوم المعلم بإعطاء المفهوم (اسم المفهوم - المصطلح) تفسيراً وشرحاً لغوياً يوضح معناه.
ويعد تحرك التعريف من أكثر التحركات شيوعاً في الاستعمال وسهولة في الاستخدام.
وأكثرها
دقة في تحديد المفهوم. ولكن في الوقت نفسه يعد تحرك التعريف من التحركات الصعبة على
التلاميذ خاصة في المراحل المبكرة. مما يجعلهم يلجؤون لحفظ التعريفات دون فهم، وبالتالي
لا يستطيعون توظيف هذه المفاهيم واستخدامها.
7- تحرك المثال: في هذا النوع من التحركات يقوم المعلم بتقديم (إعطاء)
مثال أو أكثر على المفهوم. على أن تتوفر في كل مثال جميع خصائص المفهوم. فمثلاً عند
تدريس مفهوم العدد الأولى. يعطي المعلم أمثلة على العدد الأولي مثل: 2، 3، 5، 7، 11،
13، ...
8- تحرك اللامثال: يقصد باللامثال الحالة أو النموذج التي لا يتوفر فيها
خاصية أو أكثر من خصائص المفهوم. وتحرك اللامثال (المثال السلبي) يعني تقديم مثال أو
أكثر لا ينتمي للمفهوم، أي أنها أمثلة عدم انتماء للمفهوم. فمثلاً في مفهوم العدد الزوجي
(العدد الذي يقبل القسمة على اثنين بدون باقً) تكون الأعداد: 3، 7، 49 لا أمثلة على
مفهوم العدد الزوجي. وفي مفهوم المضلع: الأشكال البيضوية عبارة عن لا
أمثلة على المضلع.
استراتيجيات تعليم (تدريس) المفاهيم
الرياضية:
المقصود بالاستراتيجية هنا
مجموعة متتابعة من التحركات التي يقوم بها المعلم أثناء تدريس المفهوم الرياضي. وتختلف
الاستراتيجيات المستخدمة في تدريس المفاهيم الرياضية من معلم لأخر. ومن مفهوم لآخر،
من حيث عدد التحركات المستخدمة وترتيبها. ومن الاستراتيجيات الشائعة في تدريس المفاهيم
الرياضية استراتيجية: تعريف - أمثلة انتماء - أمثلة عدم انتماء (لا أمثلة). ففي هذه
الاستراتيجية يبدأ المعلم بتعريف المفهوم ثم يقدّم أمثلة توضّح التعريف، ثم تأتي مرحلة
اللاأمثلة؛ لتمكّن المتعلم من التمييز بين
الأشياء المنتمية للمفهوم وغير المنتمية له.
تقويم (قياس) مدى إتقان (فهم) التلميذ للمفهوم:
أحد نماذج تقويم إتقان المفهوم الرياضي:
المعطى للمتعلم الإجراء أو
السلوك الذي يقوم به المتعلم
إذا أُعطي اسم المفهوم (المصطلح). يعطي
مثالاً مناسباً عليه– ومثالاً لاينطبق عليه (لامثال).
إذا أُعطي مثالاً على المفهوم.
يحدد اسم المفهوم (المصطلح).
إذا أعطي اسم المفهوم. يقدم
تعريفاً للمفهوم.
إذا أُعطي تعريف المفهوم. يحدد
اسم المفهوم.
إذا أعطي اسم المفهوم. يحدد
الصفة المرتبطة بالمفهوم– ويحدد صفة لا ترتبط بالمفهوم.
كما أن قدرة المتعلم على اختيار مثالاً على المفهوم من بين مجموعة من
الأمثلة المتنوعة، وتبرير عدم انتماء مثال أو حالة للمفهوم، والتعرف على أوجه التشابه
والاختلاف بين المفاهيم المتشابهة في بعض الخصائص. تعتبر من الإجراءات التي تدل على
إتقان المتعلم للمفهوم.
ثانياً- التعميمات الرياضية:
التعميم الرياضي بأنه: عبارة
عن جملة خبرية (تقرير) تحدد علاقة بين مفهومين أو أكثر. وهذه العلاقة يمكن برهنتها
أو استنباطها أو استقرائها أو التسليم بصحتها. ويشمل التعميم كلاً من: الحقيقة، النظرية،
المبدأ، القانون، القاعدة، المسلمة، البديهية.
ومن الأمثلة على التعميمات الرياضية ما يلي: 5×7= 35 (حقيقة)، ا كجم
= 1000جم (حقيقة).
مجموع قياسات الزوايا الداخلية في المثلث تساوي 180 (نظرية). ، أ م ×
أ ن = أ م+ن (قانون).
(أ 2 - ب2) = (أ + ب) (أ - ب). (قاعدة)، كل نقطتين مختلفتين في المستوي تحددان
مستقيماً واحداً فقط(مسلمة)، الكل أكبر من الجزء (بديهية).
تدريس التعميمات
الرياضية:
1- تحرك التقديم (التهيئة):
يقدم المعلم فيه مقدمة تمهيدية للتعميم، من
خلال توجيه انتباه التلاميذ لتعميم. وتوضيح أهميته وإيجاد دافع لديهم لتعلمه. فمثلاً
عندما يقدم المعلم قانون مساحة المستطيل، وحيث إن المتعلم يفترض أنهم كانوا يقومون
بإيجاد المساحة من خلال تقسيم المستطيل إلى مربعات. طول ضلع كل منها وحدة الطول ثم
يقومون بعدّ المربعات الصغيرة؛ لإيجاد مساحة المستطيل. فعند تدريس قانون مساحة المستطيل،
يذكر لهم في المقدمة بأننا سندرس قانون يمكن باستخدامه إيجاد مساحة أي مستطيل في زمن
قصير. ودون الحاجة إلى عملية رسم الشكل وتقسيمه إلى مربعات. هنا يكون قد ركز انتباه
المتعلمين على التعميم وبين أهميته وأوجد لديهم دافعاً لدراسته. ويجب عليه أن يستخدم
هذا التحرك بشكل يهيئهم لعملية التعلم.
2- تحرك الصياغة:
يقدم المعلم في هذا التحرك نص التعميم لفظياً أو رمزياً
أو لفظياً ورمزياً، ويعتمد ذلك على المستوى الدراسي للمتعلمين.
3- تحرك التفسير:
يقدم المعلم في هذا التحرك توضيحاً للمصطلحات والمفاهيم
والأفكار التي يتضمنها التعميم. ويتضمن هذا التحرك إثبات التعميم رياضياً أو التحقق
منه بطريقة عملية.
4- تحرك الأمثلة:
يقوم المعلم فيه بتقديم عدداً من الأمثلة على التعميم.
ويجب أن تكون الأمثلة الأولى واضحة وسهلة ومباشرة تساعد التلاميذ على استيعاب التعميم
واستخدامه. فمثلاً: عندما يتم تدريس قاعدة قابلية القسمة على 3. (يقبل العدد القسمة
على ثلاثة إذا كان مجموع أرقام العدد يقبل القسمة على ثلاثة). ويعطي المعلم أمثلة لأعداد
تقبل القسمة على ثلاثة ، مثل: 42، 267،....
5- تحرك التطبيق: يقدم المعلم في هذا التحرك عدداً من التدريبات والتمارين
والمسائل على التعميم واستخدامه في مواقف مختلفة.
استراتيجيات تدريس التعميمات الرياضية:
استراتيجية العرض او الاكتشاف
ويكون فيها ترتيب التحركات كما يلي: (التقديم- الصياغة- التفسير- الأمثلة– التطبيق).
او (التقديم- الأمثلة- الصياغة- التفسير- التطبيق). أي أن الفرق بينهما يكون في موقع
تحرك الصياغة. حيث يأتي في استراتيجية الاكتشاف في مرحلة متأخرة، لإعطاء التلميذ الفرصة
لاكتشاف التعميم.
قياس (تقويم) إتقان التعميمات الرياضية:
1- فهم المفاهيم والمصطلحات الواردة في التعميم، وصياغة التعميم بلغة
المتعلم الخاصة.
3- تقديم المتعلم أمثلة عن التعميم، وبيان صحة التعميم، واستخدامه في
مواقف جديدة.
ثالثاً- المهارات في الرياضيات:
تعد المهارات أحد الأنواع الرئيسة
للمعرفة الرياضية. وتشكل جزءاً أساسياً من محتوى الرياضيات في أي مرحلة تعليمية. وفي
كل صف من الصفوف. وهنا مصطلحان يجب التمييز بينهما: الخوارزمية والمهارة.
فالخوارزمية: الأسلوب أو الطريقة المتبعة للقيام بعمل ما، وتتكون من مجموعة
من الخطوات المتتابعة التي تؤدي إلى الهدف. او أداء عمل ما، من خلال تنفيذ عدد من الخطوات
بشكل منظم ومتسلسل.
ومن الأمثلة المهارات في
الرياضيات: خوارزمية القسمة المطولة، خوارزمية ضرب عدد من رقمين
في عدد من رقمين، خوارزمية إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لعددين، خوارزمية تحليل عدد
إلى عوامله الأولية.
أما المهارة فتعرف بأنها: القدرة على أداء عمل ما بمستوى عالٍ من الإتقان،
وبأقل جهد وفي أقل وقت ممكن. كما يمكن تعريفها بأنها: القدرة على إجراء الخوارزمية
بسرعة ودقة وفهم.
تحركات تدريس المهارات في الرياضيات:
1- تحرك التقديم: يقوم المعلم بإعطاء مقدمة تمهيدية عن المهارة، وتوجيه
انتباه التلاميذ لأهميتها وتوضيح الهدف من تعلمها، وتهيئتها من خلال مراجعة المهارات
السابقة ذات العلاقة بالمهارة الجديدة.
2- تحرك التفسير: يوضح المعلم المهارة، من خلال توضيح الخوارزمية، وخطوات
إجرائها ويكون ذلك من خلال الأمثلة المناسبة الكافية على المهارة.
3- تحرك التبرير: يقوم المعلم بتقديم الأدلة والبراهين على صحة المبادئ
التي تعتمد عليها كل خطوة من خطوات الخوارزمية بحيث تظهر الخطوات بشكل منظم ومتسلسل.
فكل خطوة تكون نتيجة للخطوة السابقة لها، وتكون في الوقت نفسه أساساً للخطوة اللاحقة.
ويمكن التأكيد على صحة المهارة بإجرائها بطريقة أخرى.
4- تحرك التدريب: يعد هذا التحرك من أهم التحركات، فالتدريب هو الوسيلة
الرئيسة لاكتساب المهارة. وفي هذا التحرك يكلف المعلم التلاميذ بحل عدد من التدريبات
والتمارين والمسائل على المهارة حتى يكتسب التلاميذ المهارة بشكل جيد.
ولكي يكون التدريب فعالاً، فإنه يجب أن يراعي ما يلي:
التعزيز: يعمل على تكرار حدوث السلوك المرغوب، ويزيد من دافعية المتعلم،
ويشعره بتقدير جهده.
التغذية الراجعة: وتعني تزويد المتعلم بملاحظات ومعلومات وتعليقات حول
أدائه حتى يتمكن من المقارنة بين أدائه الفعلي والأداء المتوقع للمهارة.
ويستطيع تعديل
المسار والعودة للخطوات الصحيحة.
جدولة التدريب: أن يكون التدريب مخططاً له، فيكون موزعاً على فترات زمنية
قصيرة متقاربة إلى حد ما، وأن يكون مقدار التدريب مناسباً في كل فترة.
استراتيجيات تدريس المهارات في الرياضيات:
1- استراتيجية الأجزاء: فيها يقوم المعلم بتقسيم المهارة إلى أجزاء.
ويدرب
المتعلمين على كل جزء لوحدة، ثم يربط بين أجزاء المهارة، ليكتسب المتعلم المهارة ككل.
فلو كان المعلم يريد إكساب المتعلمين مهارة رسم مثلث بمعلومية ضلعين والزاوية المحصورة
بينهما. فإنه يقسم المهارة إلى جزئيين، الأول مهارة رسم قطعة مستقيمة، والثاني مهارة
رسم زاوية لها قياس محدد. ثم يدربهم على مهارة رسم المثلث.
2- استراتيجية الكل: في هذه الاستراتيجية يقوم المعلم بتدريب المتعلمين
على المهارة كلها دفعة واحدة. دون تجزئة، فبدلاً من التركيز على كل جزء لوحده، يكون
التدريب على المهارة كوحدة واحدة. فمثلاً في مهارة رسم المثلث، يتدرب المتعلمين على
مهارة رسم قطعة مستقيمة ومهارة رسم زاوية في الوقت نفسه.
رابعاً- حل المسألة الرياضية:
المسائل الرياضية (المشكلات) واستراتيجيات تدريسها:
المشكلة موقف يواجه الفرد أو مجموعة من الأفراد ويحتاج إلى حل حيث لا
يرى الفرد طريقاً واضحاً او ظاهراً للتوصل إلى الحل المنشود وفي ضوء ما سبق فإن الموقف
يكون مشكلة لشخصٍ ما إذا تحققت الشروط التالية:
1) أن يكون لدى الشخص هدف
واضح محدد، يشعر بوجوده، ويسعى إلى تحقيقه.
2) أن يكون هناك عائق يمنعه
من تحقيق الهدف، وهذا العائق لا يمكن إزالته أو التغلب عليه بالطرق الروتينية من خلال
الخبرات والمعلومات الجاهزة لدى الشخص الذي يواجه الموقف.
3) أن يكون الشخص مهتماً
بالموقف ومتحمساً له، مما يدفعه للبحث عن وسائل وأساليب للتغلب على العائق وتحقيق الهدف.
استراتيجية حل المسألة الرياضية: هي مجموع الخطوات والتحركات التي يقوم
بها المتعلم لمواجهة موقف أو عائق يتطلب حلاً له وغالباً يكون غير مباشر، ويحتاج إلى
جهد ذهني وتصوري وإدراكي.
ان عملية حل المشكلات تعتبر عملية معقدة تحوي كثيراً من العوامل الإدراكية
والانفعالية وأيضاً بعض من العوامل التي تتفاعل مع بعضها البعض وبصورة معقدة وطبيعة
هذا التفاعل بين هذه العوامل الكثيرة هو ما يجعل عملية حل المشكلات من اعقد النشاطات
التي يمارسها الإنسان على الإطلاق.
كيفية حل المسائل الرياضية (ما هي خطوات حل المسألة)::
1. الفهم: ويكون ذلك من
خلال وضع المعطيات أو الفرضيّات، وتكون بشكلٍ واضح ومرتّب، ويجب تحديدها قبل البدْء
بالحل، ثمّ تحديد المطلوب من المسألة من أجلِ التخطيط للحلّ.
2. التخطيط: ويكونُ ذلك
من خلال التفكير بالطريقة التي يمكنُ بها حلّ المسألة، مثل استراتيجية التخمين والتحقق،
الرجوع للخلف (الحل عكسياً)، إنشاء قائمة منظّمة، رسم شكل أو صورة أو نموذج.
3. الحلّ: ويتم فيها تطبيق
خطّة الحل التي تمّ التخطيط له من قبل، ويكونُ الحلّ من خلال تطبيق واحدة من العمليات
الحسابيّة بشكلٍ منطقي ومناسب بين المعطيات والمطلوب.
4. التحقّق من الحل: ويتم
في هذه الخطوة الرجوع من نهاية المسألة إلى بدايتها، واستخدام الحلّ للحصول على المعطيات،
أي بشكلٍ عكسيّ.
***********************
***********************
تعليقات
إرسال تعليق
اضف ماتريد، رأيك مهم شاركنا به لطفا ... مع خالص الاحترام والمحبة